Malgré leur diversité, les diverses approches dans les domaines cités ont en commun de mettre en œuvre des méthodes de renormalisation ou d’établir des ponts avec ces dernières de manière parfois encore floue, appelant ainsi à la nécessité d’unifier et de confronter les points de vue sous la bannière d’un concept unificateur de renormalisation.
La théorie quantique des champs perturbative offre un degré étonnant de précision lorsqu’elle est confrontée aux expériences en laboratoire mais les mécanismes théoriques sous-jacents restent encore mystérieux, malgré des avancées remarquables quant à leur interprétation algébrique grâce aux travaux de Connes et Kreimer. Ceux-ci ont dégagé des structures d’algèbre de Hopf sous-jacentes aux règles de Feynman dont se servent les physiciens pour le calcul d’intégrales du même nom intervenant dans le calcul de fonctions de corrélation d’une théorie des champs d’un point de vue perturbatif. De nombreux développements autour des structures d’algèbres de Hopf apparaissant dans diverses théories des champs ont ensuite suivi, révélant de nouvelles structures algébriques et de nouveaux liens avec des questions de type analytique.
On voit ainsi émerger des liens avec le calcul moulien, un environnement combinatoire adapté à la résolution de problèmes difficiles de classification de systèmes dynamiques à coefficients analytiques. Cette combinatoire peut se traduire avec profit dans le langage des algèbres de Hopf (graduées, complétées) et elle recoupe alors de nombreux travaux récents, dans un domaine où il y a beaucoup d’activité : algèbre des descentes, algèbres de Connes–Kreimer et Connes–Moscovici... Par ailleurs des parallèles frappants ont été mis en lumière entre la géométrie algébrique qui sous-tend les diagrammes de Feynman et la géométrie des espaces des modules des courbes et des liens imprévus avec la théorie des nombres sont apparus avec les valeurs zeta multiples surgissant dans le calcul perturbatif de certaines fonctions de corrélation, ouvrant la voie vers une interprétation motivique. Les mêmes phénomènes de renormalisation faisant appel à des structures hopfiennes très riches sont apparus récemment dans la théorie des structures de régularité de Hairer, dans le contexte de l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques. Tous ces liens parfois encore diffus révèlent des structures plus profondes encore mal comprises.
Ce GDR a pour vocation de faciliter la communication entres les divers groupes intéressés par ces questions en vue d’une meilleure compréhension de ces phénomènes. Il a aussi pour vocation de transgresser les frontières entre domaines des mathématiques et de la physique au delà des rapprochements observés entre ces domaines ces dernières années autour de la question de la renormalisation, créant et renforçant ainsi des rapprochements entre disciplines a priori éloignées qui devraient ouvrir de nouvelles voies. C’est dans le cadre d’un projet interdisciplinaire de cette envergure qu’on peut espérer lever certaines barrières qui peuvent encore subsister entre mathématiciens et physiciens afin de formuler une définition unifiée rigoureuse du groupe de renormalisation, celle-ci contribuant alors à son tour à établir de nouvelles passerelles entre divers domaines des mathématiques et de la physique théorique.